体全息光栅讲堂第1期
衍射光栅和体光栅
衍射光栅的起源可追溯到19世纪，德国物理学家约瑟夫·冯·夫琅禾费（Joseph von Fraunhofer）首次采用金属丝网和玻璃板刻制的平行条纹，制成了公认最早的人造光栅。之后，美国物理学家亨利·奥古斯塔斯·罗兰（Henry Augustus Rowland）成功制作了高精度凹面刻划光栅，使得光栅在光谱学中应用得更广泛。20世纪以来，利用激光器产生的两束相干光进行干涉，光栅分辨率提升至纳米级，进一步扩大了光栅的应用范围。
图1 光栅衍射原理示意图
衍射光栅本质是使得入射光的振幅或相位受到周期性的空间调制，从而引起出射光在不同方向上的干涉增强，如图1所示。一个理想的衍射光栅可以认为由一组等间距的无限长无限窄狭缝组成，在xz面内入射光波透过光栅后形成等距分布的惠更斯点源，其间距为光栅周期。假设入射光波长为的单色平面波从空气入射到该光栅，入射方向与z轴成角度，光栅介质的平均折射率为n0，则光栅内的有效光波长为。那么，对任意出射光角度来说，当相邻两个点源之间的光程差为波长的整数倍时将发生干涉增强，该增强的方向也即为衍射光出射方向，设衍射光出射角为，可根据上述推论得到光栅衍射方程：
1)
由上式可知，光栅能够将入射平面波分解成多个沿不同方向传播的平面波，代表光波的衍射级次。这里我们可以做一点分析。当m=0时，衍射光为直接进入光栅介质的折射光，其出射角度与入射角之间满足折射定律。此时的衍射光角度必然小于全反射临界角，衍射光也将从介质另一侧透射至空气，因而无法在介质内进行全反射传播。当m不为0时，可以通过巧妙设计光栅周期，使得衍射光的出射角大于全反射临界角，这样的衍射光在光栅介质与空气的界面将发生全反射，从而在介质内来回反射传播。这就是衍射光波导的基本原理。
上面提到的惠更斯点源仅在xy面内，是一种厚度近乎为零的“薄光栅”，如果将其在z方向上沿一定角度进行延拓，就会成为三维的点源阵列。如图2所示，这相当于将一个二维薄光栅沿一定方向进行连续地平移复制，所得到的就是具体三维特征的体光栅。对于体光栅来说，获得极大衍射光束所对应的条件更加苛刻。如同薄光栅，体光栅的衍射极大也满足各点源干涉加强的条件，即三维的惠更斯点源阵列所出射的所有光波在某方向上干涉增强。我们选择任意两个点源B和C，它们之间的相位差或光程差可以通过一个中间点源A来计算。A与C位于同一薄层上，经过它们的光线的光程差为：
其中为入射光线在介质内部与z轴的夹角。A与B点位于同一点源平移延拓形成的阵列上，经过它们的光线的光程差为：
其中SA为点源平移延拓方向与z轴的夹角，也即体光栅的倾角（Slant Angle）。经过C和B的光线的光程差为：
满足干涉增强的条件为：
（2）
对于任意长度的AB来说，要满足公式（2），只有以下一种情况，即：
（3-1）
（3-2）
这个式子表明，体光栅的衍射首先要满足光栅方程，也即其衍射光线的出射角度由光栅方程决定。对于（3-2）式，我们可以通过它得到，或。可以看出，该条件要求衍射光与入射光关于平移延拓面满足反射定律。这一特性，与闪耀光栅是相同的，它对衍射级次进行了选择，仅那些被“闪耀”的衍射级次会具有极大的衍射效率，其他衍射级次将会因未被“闪耀”而具有微弱的衍射光强。我们将代入到（3-1）式，得到下面的式子：
（4）
其中
是体光栅的空间周期。式（4）是被称为布拉格匹配条件，它限制了特定波长下入射到体光栅上光束的入射角，仅当入射角满足此条件时，才具有极大衍射效率。从另一方面来说，在特定入射角下，它又限制了具有极大衍射效率的光波长。对入射光角度（或波长）和衍射光角度的限制特性，也可以称作角度（波长）选择性，它揭示出体光栅对光线的选择性衍射特点。
图2 体光栅衍射原理示意图
体全息光栅
1948年，Gabor发明了全息术并因此荣获诺贝尔物理学奖。全息术的基本原理是在记录和重现过程中保留光波的全部信息，即光波的振幅和相位信息。传统的摄影只能记录物体的光强度（振幅），而全息术还记录了光波的相位，因而能够呈现出立体的视觉效果。20世纪60年代，前苏联科学家丹尼苏克结合全息术与李普曼的彩色照相术法首次拍摄出了反射全息图，由于采用厚的记录介质，也称为“体积全息（Volume Hologram）”[1]，简称体全息。利用制作全息图的方法—双光束曝光—可制作出高精度的体光栅，这种体光栅又因其特定的制备方法而被称为体全息光栅（Volume Holographic Grating，VHG），如图3所示。
用于制备体全息光栅的两束光分别可以用物光（Object Beam）和参考光（Reference Beam）来区分。物光和参考光首先在感光材料内部干涉形成稳定的三维周期性光强分布，并借助光化学反应将其转化为感光材料内部物质的周期性分布。这种周期性分布又体现为消光系数或者折射率的三维周期性分布，也就是体全息光栅条纹。使用参考光照射体全息光栅能够衍射复现出物光。
根据参考光和复现物光的方向关系，可以将体全息光栅分为透射型和反射型两大类。如图3所示，参考光和复现物光在体全息光栅的两侧为透射型，参考光和复现物光在体全息的同侧为反射型。透射型体全息光栅的条纹相对其表面具有较小的倾角（Slant Angle），而反射型体全息光栅条纹相对表面具有较大的倾角。倾角的不同大小给两种类型的体全息光栅带来一定的特性差异。例如光栅整体在厚度方向上的收缩对反射型光栅的条纹间距具有更明显的影响，也就是其空间周期更容易因感光材料的曝光收缩而发生改变。这将导致反射式光栅的布拉格匹配角度更易因整体收缩而发生偏离。
图3 体全息光栅的记录和复现过程示意图。
体全息光栅具有体光栅的基本特性，即具有角度和波长选择性。利用这一特性，可发展许多应用领域，如体AR波导耦合器、全息光学元件(VHOE)、高密度体全息存储、体全息相关识别、基于体全息加权的光学神经网络等。
体全息光栅的分析工具—k-矢量球
任何一个复杂的光波都可以视为多个平面波的叠加，而这些平面波可以通过其光波矢量来描述。光波矢量的方向和大小分别对应光波传播的方向和波数。两束光波的干涉可产生周期性的空间变化形成光栅，这种光栅的性质也可以通过光栅矢量来描述。如图4所示，假设介质内光波矢大小为
，以光波矢大小为半径作球面，该球面称为k-矢量球，也叫Ewald球。k-矢量球与xz平面的交线为一个圆，称为k-矢量圆。在该介质内传播的光线，将其光波矢的起始端画在原点上，那么其末端一定在k-矢量球的球面上；而沿xz面内传播的光线，光波矢的末端在xz面的k矢量圆上。体全息光栅的光栅矢量为
，其方向垂直于光栅条纹。如果只考虑±1级衍射的话，布拉格匹配条件还可以用矢量表示为：
，（5）
其中
表示入射光波矢，
表示衍射光波矢。由于它们的波数相等，所以布拉格匹配条件可以描述为：入射光波矢、衍射光波矢和光栅矢量形成一个等腰三角形，光栅矢量
的首尾两端都位于k-矢量球面上。当然，还有一种特殊情况是光栅矢量的长度刚好等于k-矢量球的直径，这样入射光和衍射光具有完全相反的传播方向。利用式（5）和k-矢量球，可以很容易求得已知体全息光栅所对应的一组入射光和衍射光：在坐标系中画出
，并通过平移将其首尾两端置于k-矢量球面上，分别连接原点和
的首尾两点就得到了入射光和衍射光波矢。可以想象，如果将所有首尾在k-矢量球面上的
都画出来，它们将形成一个圆柱面，而与它们对应的所有入射光和衍射光波矢将形成两个圆锥面。原则上，只要是在这两个圆锥面上的一组光波矢都满足布拉格匹配条件。当入射光的角度发生偏离时，入射光波矢量、光栅矢量与衍射光波矢量不能构成矢量圆上的封闭三角形，则不满足布拉格条件，衍射光强度急剧下降，如图4所示。
图4 体全息光栅矢量和矢量球示意图
那是不是入射光的角度偏离布拉格匹配条件之后就完全没有衍射光了呢？当然不是，这里我们就要提一提“光栅矢量云”这个概念了。
体全息光栅本质上就是光栅内部消光系数或折射率的空间周期性分布，而它的光栅矢量是实际上就是表征这种分布对应的空间频率的物理量，与空间频率这个物理量差
的因子。我们以折射率的空间分布为例，假如体全息光栅的折射率呈现余弦分布规律，且其仅在长宽高为X、Y、Z的空间内存在，光栅被折射率为n0的介质包裹，那光栅临近折射率分布可以写为：
，（6）
其中
是体全息光栅的折射率调制度，它是影响衍射效率的主要因素。采用三维傅里叶变换将其分解为多个光栅矢量各不相同的光栅叠加，我们可以得到光栅的光栅矢量谱[2]：
,（7）
式中，
为卷积运算。该式表光明栅矢量的尖端从理想位置向周围扩散，呈现出一团模糊的云状，可称为“光栅矢量云”，如图5所示。这意味着在空间上受限的体全息光栅，其表现出来的光栅矢量并不是单一的，而是围绕中心光栅矢量出现了展宽。换句话说，也就是等效于存在无数个体全息光栅，它们的折射率调制度围绕中心光栅矢量以sinc函数的规律递减。
到这里，我们可以回答刚才提出的问题。虽然入射光角度偏离后与中心光栅矢量不满足布拉格匹配条件，但是它可能与矢量云中的其他光栅矢量匹配，从而出现衍射光。衍射效率跟对应光栅的折射率调制度相关，因此入射角偏离后的衍射效率衰减也与sinc函数有密切关系。
图5 有限尺寸体全息光栅的矢量云以及与“云”中的光栅矢量满足布拉格匹配的入射光和衍射光波矢示意图
我们还可以做一点分析，对于AR波导所用的体全息光栅，一般在xy方向的尺寸限制主要源于光斑大小，而在z方向的尺寸限制主要源于光栅厚度。厚度越小的体全息光栅其光栅矢量末端沿z方向的展宽越大，意味着它具有更大的角度带宽。如果厚度小到可以忽略，那么它的角度带宽将变得很大，这就是本文开头提到的薄光栅。对于体全息光栅，在一定折射率调制度范围内，其衍射效率可以用耦合波方法进行计算[3]，详细的内容，我们下期再讲。
参考文献
[1] Densisyuk Y N. Photographic reconstruction of the optical properties of an object in its own scattered radiation field.Sov. Phys. Dokl.,1962,7:543
[2] 陶世荃等编著.光学体全息技术及应用[M].科学出版社,2013.
[3] Herwig K. Coupled wave theory for thick hologram gratings[J]. Bell System Technical Journal, 1969, 48(9): 2909-47.